Czasopismo | PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY | Rocznik 2023 - zeszyt 7

Numerical properties of discrete approximations of an elementary fractional order transfer function

Wła ´sciwo ´sci numeryczne dyskretnych aproksymacji elementarnej transmitancji ułamkowego rz ˛edu

10.15199/48.2023.07.22

Krzysztof OPRZĘDKIEWICZ

nr katalogowy: 144168
10.15199/48.2023.07.22

Streszczenie

The paper deals with the analysis of basic numerical properties of discrete approximations of the elementary fractional order, inertial transfer function. The considered transfer function is approximated with the use of two most typical approaches. The first one uses Continuous Fraction Expansion (CFE) approximation, the next one employes the Fractional Order Backward Difference (FOBD) approximation, based on the Grünwald-Letnikov (GL) definition of fractional operator. Elementary properties of both approximants: accuracy and duration of calculations are numerically analysed using PC and MATLAB. Publications in this field are not known to the author. Results of numerical tests point that at the considered software-hardware platform the FOBD approximation assures better accuracy than CFE approximation with practically the same duration of computation. Next, the speed of computing is determined by the form of source code. Additionally, the computing of step response with the use of both tested approximations is much faster than the use of analytical solution employing the MATLAB implementation of Mittag-Leffler function.

Abstract

W artykule omówiono podstawowe własno ´sci numeryczne dyskretnych aproksymacji elementarnej transmitancji obiektu inercyjnego niecałkowitego rz ˛edu. Do aproksymacji zastosowano dwie najbardziej typowe metody. Pierwsza z nich bazuje na aproksymacji CFE niskiego rz ˛edu, druga aproksymacja (FOBD) wykorzystuje definicj ˛e operatora ułamkowego podan ˛a przez Grüunwalda i Letnikova. Podstawowe własno ´sci obu aproksymacji: dokładno ´s ´c i zło ˙zono ´s ´c (w sensie czasu oblicze ´n) zostały poddane analizie numerycznej z u ˙zyciem ´srodowiska MATLAB na typowej platformie PC. Wcze ´sniejsze publikacje w literaturze z tego zakresu nie s ˛a znane autorowi. Na podstawie wyników testów numerycznych mo ˙zna stwierdzi ´c, ˙ze w rozwa ˙zanym wypadku zastosowanie aproksymacji FOBD zapewnia lepsz ˛a dokładno ´s ´c przy praktycznie tej samej szybko ´sci oblicze ´n. Stwierdzono te ˙z zale ˙zno ´s ´c pomi ˛edzy szybko ´sci ˛a oblicze ´n i postaci ˛a kodu ´zródłowego programu. Dodatkowo zauwa ˙zono, ˙ze zastosowanie ka ˙zdej z omawianych aproksymacji pozwala na wykonanie oblicze ´n znacznie szybciej, ni ˙z wykorzystanie w tym celu analitycznej formuły na odpowied ´z skokow ˛a rozwa ˙zanej transmitancji. Wynika to prawdopodobnie z długiego czasu wyznaczania funkcji Mittag-Lefflera na platformie MATLAB.

Słowa kluczowe

Keywords

Bibliografia

[1] M.A. Al-Alaoui. Novel digital integrator and differentiator. Electronics Letters, 29(4):376–378, 1993.
[2] M. Buslowicz and T. Kaczorek. Simple conditions for practical stability of positive fractional discrete-time linear systems. International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, 19(2):263–269, 2009.
[3] R. Caponetto, G. Dongola, L. Fortuna, and I. Petras. Fractional order systems: Modeling and Control Applications. In Leon O. Chua, editor, World Scientific Series on Nonlinear Science, pages 1–178. University of California, Berkeley, 2010.
[4] Y. Q. Chen and K. L. Moore. Discretization schemes for fractional-order differentiators and integrators. IEEE Transactions on Circuits and Systems - I: Fundamental Theory and Applications, 49(3):263–269, 2002.
[5] S. Das. Functional Fractional Calculus for System Identification and Controls. Springer, Berlin, 2010.
[6] M. Dlugosz and P. Skruch. The application of fractional-order models for thermal process modelling inside buildings. Journal of Building Physics, 1(1):1–13, 2015.
[7] A. Dzieli ´nski, D. Sierociuk, and G. Sarwas. Some applications of fractional order calculus. Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences, 58(4):583–592, 2010.
[8] C.G. Gal and M. Warma. Elliptic and parabolic equations with fractional diffusion and dynamic boundary conditions. Evolution Equations and Control Theory, 5(1):61–103, 2016.
[9] T. Kaczorek. Selected Problems of Fractional Systems Theory. Springer, Berlin, 2011.
[10] T. Kaczorek and K. Rogowski. Fractional Linear Systems and Electrical Circuits. Bialystok University of Technology, Bialystok, 2014.
[11] A. Obr ˛aczka. Control of heat processes with the use of noninteger models. PhD thesis, AGH University, Krakow, Poland, 2014.
[12] K. Oprz ˛edkiewicz, E. Gawin, and T. Gawin. Real-time plc implementations of fractional order operator. In Automation 2018 : innovations in automation, robotics and measurment techniques : 21-23 March, Warsaw, Poland, pages 36–51, 2018.
[13] K. Oprz ˛edkiewicz, E. Gawin, and W. Mitkowski. Application of fractional order transfer functions to modeling of high - order systems. In MMAR 2015 : 20th international conference on Methods and Models in Automation and Robotics : 24-27 August 2015, Mi ˛edzyzdroje, Poland, page 1169–1174, 2015.
[14] K. Oprz ˛edkiewicz, W. Mitkowski, and E. Gawin. An accuracy estimation for a non integer order, discrete, state space model of heat transfer process. In Automation 2017 : innovations in automation, robotics and measurment techniques : 15-17 March, Warsaw, Poland, pages 86–98, 2017.
[15] P. Ostalczyk. Equivalent descriptions of a discrete-time fractional-order linear system and its stability domains. International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, 22(3):533–538, 2012.
[16] P. Ostalczyk. Discrete Fractional Calculus. Applications in Control and Image Processing. World Scientific, New Jersey, London, Singapore, 2016.
[17] I. Petras. Fractional order feedback control of a dc motor. Journal of Electrical Engineering, 60(3):117–128, 2009.
[18] I. Petras. Digital fractional order differentiator/integrator - iir type (https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/3672- digital-fractional-order-differentiator-integrator-iir-type), matlab central file exchange. retrieved january 30, 2023.http://people.tuke.sk/igor.podlubny/usu/matlab/ petras/dfod1.m, 2023.
[19] I. Petras. Ivo petras (2023). digital fractional order differentiator/integrator - fir type. (https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/3673- digital-fractional-order-differentiator-integrator-fir-type), matlab central file exchange. retrieved january 30, 2023., 2023.
[20] I. Podlubny. Fractional Differential Equations. Academic Press, San Diego, 1999.
[21] D. Sierociuk, T. Skovranek, M. Macias, I. Podlubny, I. Petras, A. Dzielinski, and P. Ziubinski. Diffusion process modeling by using fractional-order models. Applied Mathematics and Computation, 257(1):2–11, 2015.
[22] R. Stanisławski, K. Latawiec, and M. Łukaniszyn. A comparative analysis of Laguerre-based approximators to the GrünwaldLetnikov fractional-order difference. Hindawi Publishing Corporation Mathematical Problems in Engineering, 2015(1):1–10, 2015.

Jeśli masz wykupiony/przyznany dostęp - zaloguj się. Skorzystaj z naszych propozycji zakupu!

Publikacja


e-Publikacja (format pdf) - nr 62751 "Teraźniejszość i przyszło..." licencja: Osobista Produkt cyfrowy	10.00 zł

Zeszyt


PRZEGLĄD PAPIERNICZY - e-zeszyt (pdf) 2011-9 licencja: Osobista Produkt cyfrowy	28.50 zł

Prenumerata

PRZEGLĄD PAPIERNICZY - prenumerata cyfrowa
licencja: Osobista

Produkt cyfrowy
Nowość

342.00 zł

PRZEGLĄD PAPIERNICZY - papierowa prenumerata roczna + wysyłka
licencja: Osobista

Szczegóły pakietu

Nazwa
PRZEGLĄD PAPIERNICZY - papierowa prenumerata roczna	420.00 zł brutto 388.89 zł netto 31.11 zł VAT (stawka VAT 8%)
PRZEGLĄD PAPIERNICZY - pakowanie i wysyłka	42.00 zł brutto 34.15 zł netto 7.85 zł VAT (stawka VAT 23%)

462.00 zł

PRZEGLĄD PAPIERNICZY - PAKIET prenumerata PLUS
licencja: Osobista

Szczegóły pakietu

Nazwa
PRZEGLĄD PAPIERNICZY - PAKIET prenumerata PLUS (Prenumerata papierowa + dostęp do portalu sigma-not.pl + e-prenumerata)	516.00 zł brutto 477.78 zł netto 38.22 zł VAT (stawka VAT 8%)

516.00 zł

Zeszyt

2023-7

Twój Koszyk

Publikacja

Zeszyt

Prenumerata

Zeszyt

Czasopisma